\begin{EXERCICE}
\exercice{Loi des gaz parfaits}
Une enceinte sphérique de volume $V = 10~\unit{l}$ est remplie
d'hélium, considéré parfait, à pression atmosphérique et
à $25\unit{\degres C}$.

Un tube latéral est bouché par une rondelle (index mobile)
qui peut glisser sans frottement. La longueur est de $1~\unit{m}$;
son diamètre de $2~\unit{cm}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) coordinate (r0) -- ++(-5,0)coordinate (a) -- ++(-5mm,0)coordinate (b)
      arc(10:350:1.5) 
      coordinate (c) -- ++(5mm,0) coordinate (d) -- ++(5,0) coordinate (r1);
\fill (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw[stealth-stealth] ([yshift=-3mm]c) -- ([yshift=-3mm]r1)node[pos=0.5,below]{$1~\unit{m}$};
\draw[stealth-stealth] ([xshift=3mm]r0) -- ([xshift=3mm]r1)node[pos=0.5,right]{$2~\unit{cm}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{questions}
\item Quelle est l'augmentation de volume quand la temperature monte
        à $30\unit{\degres C}$? De combien se déplace l'index?
\item La rondelle est bloquée à la position qu'elle occupait à $25\unit{\degres C}$
        (cf. schéma). La température est montée à $30\unit{\degres C}$, calculer
        la pression intérieure.
\item Si la rondelle est mobile, à quelle température sortira-t-elle du tube?
\item Calculer le nombre de molécule de gaz.
\end{questions}

\rappel{%
\begin{itemize}
\item $1~\unit{atm} = \numprint{1.013}\,10^5~\unit{Pa} = \numprint{1.013}~\unit{bar}$
\item $\Rgp = \numprint{8.314}~\unit{J\/mol^{-1}\,K^{-1}}$
\item $\NAvo = \numprint{6.022}\,10^{23}~\unit{mol^{-1}}$
\end{itemize}
}
\end{EXERCICE}

\begin{SOLUTION}
\soluce{Loi des gaz parfaits}
\reponse{Volume à $T = 30\unit{\degres C}$}

D'après la loi des gaz parfait: 
\[
V = \frac{n\Rgp T}{P}
\]
d'où
\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{n_1 \Rgp T_1}{P_1} \frac{P_2}{n_2 \Rgp T_2}
\]
Or lors de cette augmentation de température, l'équilibre de
pression et la conservation de la quantité de matière
 sont assurées par l'index mobile sans frottement, donc
$P_1 = P_2$ et $n_1 = n_2$, on en déduit:
\[
\begin{split}
V_2 & = V_1 \frac{T_2}{T_1} \\
    & = \numprint{10}\,10^{-3} \cdot \frac{\numprint{30} + \numprint{273.15}}{\numprint{25} + \numprint{273.15}} \\
    & = \numprint{1.017}\,10^{-2}~\unit{m^3} = \numprint{10.17}~\unit{l}
\end{split}
\]

\reponse{Pression à $T = 30\unit{\degres C}$}

Par le même raisonnement, on obtient:
\[
\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2 \Rgp T_2}{V_2} \frac{V_1}{n_1 \Rgp T_1}
\]
avec cette fois $V_2 = V_1$ et $n_2 = n_1$. Donc
\[
\begin{split}
P_2 & = P_1\frac{T_2}{T_1} \\
    & = \numprint{1,013}\,10^5 \cdot \frac{\numprint{303.15}}{\numprint{298.15}} \\
    & = \numprint{1.030}\,10^5~\unit{Pa} = \numprint{1.017}~\unit{atm}
\end{split}
\]

\reponse{Sortie du tube de la rondelle}

Il s'agit de la température à $V_2$ le volume de l'enceinte plus celui du
cylindre à pression et quantité de matière constant:
\[
\begin{split}
T_2 & = T_1 \frac{V_2}{V_1} \\
    & = T_1 \frac{V_1 + V_\text{cyl}}{V_1} \\
    & = \numprint{298.15} \cdot \frac{10\,10^{-3} + \pi\cdot (2\,10^{-2})^2 \cdot 1}{10\,10^{-3}} \\
    & = \numprint{335.6}~\unit{K} = \numprint{62.47}~\unit{\degres C}
\end{split}
\]

\reponse{Nombre de molécules de gaz}

\[
\begin{split}
n & = \frac{PV}{\Rgp T} \\
  & = \frac{P_1V_1}{\Rgp T_1} \\
  & = \frac{\numprint{1.013}\,10^5 \numprint{10}\,10^{-3}}{\numprint{8.314} \left(\numprint{25} + \numprint{273.15}\right)} \\
  & = \numprint{0.41}~\unit{mol}
\end{split}
\]
\end{SOLUTION}
